５平方の定理？
ここで？をつけたのは、この定理がどのような呼び方をするのか、また名前があるのか、知らないから付けたわけです。適切な名前があれば誰か教えてください。
ここで、わたしが５平方の定理と呼んでいるのは、次のようなものです。
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５平方の定理
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| １、２、３、４、６、７、９、１０、１２、１５、１８、３３以外の自然数は５つの自然数の平方の和としてあらわすことができる。 |
たとえば、
5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12
8 = 12 + 12 + 12 + 12 + 22
11 = 12 + 12 + 12 + 22 + 22
13 = 12 + 12 + 12 + 12 + 32
14 = 12 + 12 + 22 + 22 + 22
16 = 12 + 12 + 12 + 22 + 32
…
っていう感じです。
この証明は簡単です。
（証明）
１６９以上の自然数 n について考える。（１６９未満の自然数に関しては、試してみてください。ここでは省略させて頂きます。）
ラグランジュの４平方の定理よりすべての自然数は４つの平方数の和であらわすことができたので、
n - 169 = a2 + b2 + c2 + d2 (a、b、c、d = 0、1、2、3、…)
とあらわすことができる。しかし、この a、b、c、d の中に０を含んでいる場合がある。>
つまり、
１）０を１つも含まない場合。
２）０を１つだけ含む場合。
３）０を２つ含む場合。
４）０を３つ含む場合。
が、考えられる。
169 = 132 = 122 + 52 = 122 + 42 + 32 = 102 + 82 + 22 + 12
を使うと、
１） n = a2 + b2 + c2 + d2 + 132
２） n = a2 + b2 + c2 + 122 + 52
３） n = a2 + b2 + 122 + 42 + 32
４） n = a2 + 102 + 82 + 22 + 12
とあらわすことができるので、成立。
（証明終）
