ウェアリングの問題 (Waring's Problem)
ウェアリングの問題はラグランジュの４平方の定理の一般化と考えてください。１７７０年イギリスの数学者ウェアリング(Edward Waring)は、次のような予想をしました。
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ウェアリングの問題
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数列 An: 1n、2n、3n、4n、5n、…、kn、…
が n によって決める次数の基底になる。 |
＜基底とは？＞
ラグランジュの４平方の定理を思い出してください。
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４平方の定理 Lagrange's four-square theorem
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すべての自然数は４つの平方数の和であらわすことができる。
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これを言い換えると、
数列 A2: 12、22、32、42、52、…、k2、…
は４次の基底となります。これをよく、
g(2) = 4
とあらわしたりします。
ウェアリングは
g(2) = 4、g(3) = 9、g(4) = 19
を予想しています。２０世紀に入って g(3) = 9 に関してはディクソン(Dickson)、Pillai、Nivenらによって示されました。このとき(1939年)、ディクソンはその９個必要なときは、
23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13
239 = 53 + 33 + 33 + 33 + 23 + 23 + 23 + 23 + 13
の２数に限られることも述べている。
また、ヒルベルト(David Hilbert)、ハーディ(Godfrey Harold Hardy)、ヴィノグラードフ(Ivan Matveevich Vinogradov)らによって g(4)≦21 が示され、１９８６年には Ramachandran Balasubramanian らによって g(4) = 19 が示されました。
リウヴィル(Joseph Liouville)は g(5)≦53 であることを示し、ヴィーフェリッヒ(Wieferich)は g(5)≦37 までにしました。 さらに、１９６４年には チェン(J.-J. Chen) によって g(5) = 37 が示されました。
続く
