２項分布

次のような実験を考えます。

ベルヌーイ試行 (Bernoulli Trials)

この実験はその要素が０か１のみの無限母集団で１の比率を p とおくと０の比率は q ( = 1-p )となります。この試行を n 回行っても毎回同じ条件で行われ、各結果は互いに影響しない（独立である）。

このような実験（試行）を（長さ n の）ベルヌーイ試行といいます。

ベルヌーイ試行の例としてよくあげられるのが、次のようなものです。

コインを投げ、表がでれば１，裏がでれば０とします。この試行を n 回行います。ただし、コインがたつことはないものとします。

表の確率を p とし、裏の確率を q (=1-p) とすると、確率変数 Xi ( i = 0,1,2,…n)は、

Xi = 1(表：確率p) or 0(裏：確率q)

となり、(a₁,a₂,a₃,…,a_n)=0or1 としたとき、

P(X₁=a₁,X₂=a₂,X₃=a₃,…,X_n=a_n)=p^aq^n-a　　(a=Σa_i)

となります。

長さ n のベルヌーイ試行において、１の個数をXとします。このとき、

２項分布 (Binominal Distribution)

P(X=k)=nCk pkqn-k=nCk pk(1-p)n-k (k=0,1,2,…,n) において、確率変数Xはn,pがきまれば、その分布がわかります。これを２項分布と呼び、B(n,p)とあらわします。

例を一つ考えてみましょう。

例題

さいころを１０回ふって、３以上の目が４回以上でる確率を求めよ。

さいころで、３以上がでる確率は、4/6=2/3です。従いまして、それが４回以上である確率は、２項分布B(10,2/3)に従います。 P(X≧4) = 1 - P(X≦3) = 1 - P(X=0) -P(X=1) - P(X=2) - P(X=3) = 1 - (1/3)10 - 10C1(1/3)9(2/3)1 - 10C2(1/3)8(2/3)2 - 10C3(1/3)7(2/3)3 = 0.980

= ( pe^t + 1 - p )ⁿ

Mx'(t) = npe^t(pe^t + 1 - p )^n-1

より

M'x(0) = np( p + 1 - p )^n-1 = np

Mx''(t) = n(n-1)p²e^2t( pe^t + 1 - p )^n-2 + npe^t(pe^t + 1 - p )^n-1

より

Mx''(0) = n(n-1)p²( p - 1 - p )^n-2 + np( p - 1 - p )^n-1

= n(n-1)p² + np

E(X) = M'x(0) = np

V(X) = Mx''(0) - {M'x(0)}² = n(n-1)p² + np - (np)² = np(1-p)

確率関数	nCkpkqn-k
積率母関数	( pet + 1 - p )n
平均	np
分散	np(1-p)

　２項分布