次のような実験を考えます。
ベルヌーイ試行 (Bernoulli Trials)
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このような実験(試行)を(長さ n の)ベルヌーイ試行といいます。
ベルヌーイ試行の例としてよくあげられるのが、次のようなものです。
コインを投げ、表がでれば1,裏がでれば0とします。この試行を n 回行います。ただし、コインがたつことはないものとします。 |
表の確率を p とし、裏の確率を q (=1-p) とすると、確率変数 Xi ( i = 0,1,2,…n)は、
Xi = 1(表:確率p) or 0(裏:確率q)
となり、(a1,a2,a3,…,an)=0or1 としたとき、
P(X1=a1,X2=a2,X3=a3,…,Xn=an)=paqn-a (a=Σai)
となります。
長さ n のベルヌーイ試行において、1の個数をXとします。このとき、
2項分布 (Binominal Distribution)
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P(X=k)=nCk pkqn-k=nCk pk(1-p)n-k (k=0,1,2,…,n) |
例を一つ考えてみましょう。
例題
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さいころを10回ふって、3以上の目が4回以上でる確率を求めよ。
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Xの積率母関数は、
Mx(t) = Σetkpk
= Σetk(nCkpkqn-k)
= ΣnCk(pet)kqn-k
= ( pet + q )n (2項定理より)
= ( pet + 1 - p )n
Mx'(t) = npet(pet + 1 - p )n-1
より
M'x(0) = np( p + 1 - p )n-1 = np
Mx''(t) = n(n-1)p2e2t( pet + 1 - p )n-2 + npet(pet + 1 - p )n-1
より
Mx''(0) = n(n-1)p2( p - 1 - p )n-2 + np( p - 1 - p )n-1
= n(n-1)p2 + np
E(X) = M'x(0) = np
V(X) = Mx''(0) - {M'x(0)}2 = n(n-1)p2 + np - (np)2 = np(1-p)
確率関数
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nCkpkqn-k
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積率母関数
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( pet + 1 - p )n
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平均
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np
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分散
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np(1-p)
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