ゴールドバッハの予想 (Goldbach's conjecture)

1742年6月7日、プロシア生まれの数学者、ゴールドバッハ(Christian Goldbach)はオイラー(Leonhard Euler)宛ての手紙の中に次のような予想書いています。

ゴールドバッハからオイラー宛の手紙

５よりも大きい自然数は３つの素数の和であらわすことができる。（予想）…(*)

これに対してオイラーは次のような返事を書いています。

オイラーの返事

(*)は、 　”４以上の偶数は２つの素数の和であらわすことができる”…(**) 　ことと同値。

では早速、(*)と(**)の同値性を確認してみましょう。

（証明）

まずは、(**)⇒(*)からみてみましょう。

４以上の偶数を、2n-2（ n = 3、4、5、6、…)とおくと、

2n-2 = p1 + p2 ( p1 、p2 は素数)

と置くことができますね。

そこで両辺に素数３を加えると、

2n+1 = p1 + p2 + 3

となります。ここで左辺の2n+1は（ n = 3、4、5、6、…)より、

2n+1 = 7、9、11、13、…

なので、５よりも大きい（７以上の）奇数は３つの素数の和であらわされることが示されました。

６以上の偶数に関しても同様に、

2n-2 = p1 + p2 ( p1 、p2 は素数)（ n = 3、4、5、6、…)

と置くことにより、両辺に素数２を加えて、

2n = p1 + p2 + 2

とあらわすことができるので、成立することが分かります。

では次に(*)⇒(**)を考えましょう。

(*)が成り立つならば、６以上の偶数 2n+2 （ n = 2、3、4、5、…)も、

2n+2 = p1 + p2 + p3 (p1 、p2 、p3は素数)

とあらわすことができるはずです。

ここで両辺を比較すると、左辺は偶数。よって右辺の３つの素数のうちの１つまたは全てが偶数の素数つまり２でなければならない。仮にp3を２とすると、

2n = p1 + p2

（ n = 2、3、4、5、…)なので４以上の偶数は２素数の和であらわすことができる。

（証明終）

これで(*)と(**)の同値性が確認できました。

続く

　ゴールドバッハの予想 (Goldbach's conjecture)