オイラーの公式(Euler's formula)

マクローリン展開

関数 f(x) が x＝0 の近くで n 回微分可能であれば x＝0 の十分近くで

f(x) = f(0) + f'(0)/1!・x +f''(0)/2!・x² + f'''(0)/3!・x³ + … + f^(n-1)(0)/(n-1)!・x^n-1 + f⁽ⁿ⁾(θx)/n!・xⁿ(0＜θ＜1)

となります。これをマクローリン展開といいます。

このマクローリン展開を用いてsin x、cos x、e^xをそれぞれ展開してみましょう。

sin x = sin0 + cos0 ・x - sin0/2! ・x² - cos0/3! ・x³ + sin0/4! ・x⁴ + cos0/5! ・x⁵ - …

= x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + x⁹/9! - …　　　　　　…(1)

cos x = cos0 - sin0 ・x - cos0/2! ・x² + sin0/3! ・x³ + cos0/4! ・x⁴ - sin0/5! ・x⁵ - …

= 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + x⁸/8! - …　　　　　　…(2)

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! + x⁶/6! + x⁷/7! + x⁸/8! + x⁹/9! + …　　　　　　…(3)

ここで(3)のxをix(iは i²=-1)とおくと

e^ix = 1 + ix - x²/2! - ix³/3! + x⁴/4! + ix⁵/5! - x⁶/6! - ix⁷/7! + x⁸/8! + ix⁹/9! + …　　　　　　

= (1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + x⁸/8! + …) + i(x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + x⁹/9! + …)

(1)、(2)より

eix = cos x + isin x 　(オイラーの公式)

う、美しい。

この公式のxにπを代入すると

eiπ = -1

…び、びゅーてぃふる！

自然対数の底eと虚数iと円周率πはこんな関係にあったんですね。

　オイラーの公式(Euler's formula)