cos nθ + i sin nθ = (cos θ + i sin θ)n
を利用して三角関数の公式を導いてみましょう。
cos 2θ + i sin 2θ = (cos θ + i sin θ)2 …（＊１）
= cos2θ + 2i cosθsinθ - sin2θ
= cos2θ - sin2θ + i(2cosθsinθ)
ここで（＊１）の左辺と比較すると
cos 2θ = cos2θ - sin2θ
sin 2θ = 2cosθsinθ
これが倍角の公式ですね。次に三倍角の公式はというと
cos 3θ + i sin 3θ = (cos θ + i sin θ)3 …（＊２）
= cos 3θ + 3i cos2θsinθ- 3 cosθsin2θ - i sin 3θ
= cos 3θ- 3 cosθsin2θ + i(3cos2θsinθ - sin 3θ)
= 4cos 3θ- 3 cosθ + i(3sinθ - 4sin 3θ)
（＊２）の左辺と比較すると
cos 3θ = 4cos 3θ- 3 cosθ
sin 3θ = 3sinθ - 4sin 3θ
ド・モアブルの公式 (De Moivre's Theorem) の利用